提升图的给定自同构群

在本文中,我们关注通过正则覆盖投影提升有限图的给定自同构群。此处我们以一个例子描述我们所处理的问题,并请参考引言部分以了解我们结果的准确陈述。设 $P$ 为 Petersen 图,令 $\wp:\tilde{P}\to P$ 为正则覆盖投影。利用现有的覆盖工具,直接找到具有如下性质的 $\wp$ 是容易的:即 $\Aut(P)$ 的每个子群都经由 $\wp$ 提升。然而,对于构造特殊例子及应用而言,这通常不够。有时重要的是,给定 $\Aut(P)$ 的一个子群 $G$,找到 $\wp$ 使得 $G$ 沿其提升但 $P$ 的其余自同构均不提升。例如,在这个具体例子中,找到一个提升交错群 $A_5$ 但不提升整个对称群 $S_5$ 的 Petersen 图覆盖是有趣的。(回想 $\Aut(P)\cong S_5$。)另一些时候重要的是,给定 $\Aut(P)$ 的一个子群 $G$,找到具有如下性质的 $\wp$:即 $\Aut(\tilde{P})$ 是 $G$ 的提升。通常,期望找到满足这两个条件的 $\wp$。在非常宽泛的意义上,这可能让人联想到曲面上的墙纸图案:十二面体的对称群是 $S_5$,而存在一种十二面体的漂亮着色(亦由 Escher 发现)其对称群恰为 $A_5$。在本文中,我们完全一般地解决了这一问题。