关于具有极小特征值的完全图顶点传递距离正则覆盖

本文致力于研究完全图 $K_n$ 的阿贝尔（按 Godsil 和 Hensel 所定义的意义）距离正则 $r$-覆盖。根据 Coutinho、Godsil、Shirazi 和 Zhan (2016) 的构造，每一个这样的覆盖都产生一个大小为 $n$ 且达到相对界的等角线集。此外，有四族阿贝尔覆盖通过此构造产生达到绝对界的线集。这些族的所有已知代表——六边形、二十面体图、Schläfli 图和 McLaughlin 图的 Taylor 扩展及其距离-$2$ 图，以及另外三个源自广义四边形的例子——均具有顶点传递自同构群，且在该覆盖的弧集上至多有两个轨道。我们的目标是在覆盖的自同构群为顶点传递且在其弧集上至多有两个轨道的条件下对这些族中的覆盖进行分类，该条件恰好成立当且仅当该群在覆盖纤维集上导出一个秩至多为 $3$ 的传递置换群。我们应用了关于秩至多为 $3$ 的置换群的若干基本分类结果，以描述 $r$ 为奇数且最小特征值为极值（等于 $-\sqrt{\sqrt{n}+1}$，对应于复 Hilbert 空间中的线）的覆盖族。所得结果涵盖了覆盖的自同构群在纤维集上导出本原或非本原的秩至多为 $3$ 的群的情形。