三维 Navier-Stokes 方程的自相似源型解

我们形式化了一种构造 Navier-Stokes 方程前向自相似解的系统方法，以刻画湍流衰变过程的后期阶段。（i）鉴于 2 型临界尺度不变性，我们利用涡量旋度作为因变量来推导和分析动力学尺度的 Navier-Stokes 方程。这一形式化提供了使问题取最简形式的视角。（ii）通过 Duhamel 原理将尺度化 Navier-Stokes 方程改写为积分方程，我们将非线性项视为使用 Fokker-Planck 演化半群的微扰。引入系统的逐次逼近，并显式给出 leading-order 解为带无散度投影的高斯函数。（iii）通过迭代，二阶近似被显式估计至无散度投影并作数值评估。（iv）在此基础上引入对非线性项的新刻画以定量估计其强度 $N$。我们发现 3D Navier-Stokes 方程的 $N=O(10^{-2})$。这应与 Burgers 方程的 $N=O(10^{-1})$ 及 2D Navier-Stokes 方程的 $N \equiv 0$ 相对照。（v）作为示例，我们显式确定了多维 Burgers 方程的源型解。给出了当前结果的含义与应用。