与正四面体及虚立方体相关的自相似分形

我们考虑三维欧几里得空间中与正四面体相关的自相似集。Sierpi${\rm \acute{n}}$ski四面体就是这样一个自相似集。在本文中，我们研究这些集合的整个族。我们的动机是获得分形$n$-边形的三维类比。特别地，我们从“虚立方体”的视角关注这些集合的几何性质。虚立方体是一个集合$A$，存在某个立方体$C$，使得$A$在$C$的面方向上的投影等于$C$的这些投影。已知Sierpi${\rm \acute{n}}$ski四面体是一个虚立方体。我们得到了自相似集为虚立方体的判据。此外，我们从旋转对称性或连通性的视角展示了那些作为虚立方体的集合的一些性质。