抛物基本仿射空间的 Schwartz 空间与渐近 Hecke 代数

设 $F$ 为局部非阿基米德域，$G$ 为定义在 $F$ 上的分裂连通约化群在 $F$ 上的点的群。在先前文章中我们定义了 $G$ 上函数的一个代数 $\mathcal J(G)$，它包含 Hecke 代数 $\mathcal H(G)$ 且包含于 Harish-Chandra Schwartz 代数 $\mathcal C(G)$ 中。我们将 $\mathcal J(G)$ 视为代数 $\mathcal C(G)$ 的代数类比。给定 $G$ 的抛物子群 $P$，其 Levi 子群为 $M$、幂幺根为 $U_P$，记 $X_P:=G/U_P$。本文研究 $X_P$ 的两种 Schwartz 空间版本。第一种是 $\mathcal S(X_P):=\mathcal J({\mathcal S} _c(X_P))$，第二种是由形如 $\Phi_{Q,P}(\phi)$ 的函数张成的空间，其中 $Q$ 为另一具有相同 Levi 子群的抛物子群，$\phi\in \mathcal S_c(X_Q)$，$\Phi_{Q,P}$ 为从 $L^2(X_Q)$ 到 $L^2(X_P)$ 的归一化交织算子。我们提出关于这些空间的一系列猜想，例如猜想 $\mathcal S'(X_P)\subset \mathcal S(X_P)$ 且该嵌入在 $M$-尖点部分上为同构。我们给出了其中部分猜想的证明。