群 $\Z_{2}^{n}$ 上的 Schur 环、在抽取下不变的循环 $S-$集与 Hadamard 矩阵

本文讨论了若干课题，包括 Schur 环、$S$-集、循环轨道、抽取算子和 Hadamard 矩阵，并展示了它们之间的关系。首先我们定义完全 $S$-集。接着，我们研究 $\Z_{2}^{n}$ 上以循环基本集构成的 Schur 环的结构，并定义自由与非自由循环 $S$-集、对称、非对称与反对称循环 $S$-集。我们证明所有这些 $S$-集在抽取下均为不变量。最后，我们证明若存在 Hadamard 矩阵，则其包含于一个完全 $S$-集中。我们还证明具有某种特定结构且含一个核的循环 Hadamard 矩阵不可能存在。这些定理包含了一个关于阶为 $4n$ 的对称循环 Hadamard 矩阵的已知结果，仅当 $n$ 为奇数时成立。