树的 Schur 与 $e$-正性以及割点

我们证明，任何含一个度 $d\geq \log _2n +1$ 顶点的 $n$ 顶点树的色对称函数不是 $e$-正的，即不是初等对称函数的正线性组合。将此推广，我们还证明任何含一个割点的 $n$ 顶点连通图的色对称函数若删除该割点将图分裂为 $d\geq\log _2n +1$ 个连通分支，则不是 $e$-正的。此外我们证明任何含一个度大于 $\lceil \frac{n}{2}\rceil$ 顶点的 $n$ 顶点二部图（包括所有树）不是 Schur-正的，即不是 Schur 函数的正线性组合。在完全一般性下，我们证明若 $n$ 顶点连通图无完美匹配（$n$ 为偶数时）或无几乎完美匹配（$n$ 为奇数时），则其不是 $e$-正的。因此我们推得许多含爪图的图不是 $e$-正的。