一致机与无关机上具有二部不兼容图的调度问题

本文考虑并行机上在 incompatibility 关系下的作业调度问题。在该模型中给定作业间的二元关系，且处于该关系中的任意两个作业不能被调度于同一台机器上。具体而言，我们考虑在构成二部图的不兼容关系下，以完工时间为最优性准则，在一致机与无关机上的作业调度。我们证明在 $P \neq NP$ 下，对于一致机即便在单位时间作业的情形也无法获得良好的近似比。我们还提供了一种近似算法，在相同假设下即便对于任意长度 $p_j$ 的作业也达到了可能的最佳近似比。确切地说，我们给出了对于任意 $\epsilon > 0$ 的 $O(n^{1/2-\epsilon})$ 不可近似性界；以及 $\sqrt{p_{sum}}$-近似算法。为丰富分析，考虑了依据 Gilbert 模型 $\mathcal{G}_{n,n,p(n)}$ 随机生成的二部图。对于一大类 $p(n)$ 函数，我们证明存在一种算法以几乎必然产生不超过最优值两倍的完工时间调度。据我们所知，这是在所考虑模型下调度背景下对随机生成图的首次研究。对于无关机，给出了 $R2|G = bipartite|C_{\max}$ 的 FPTAS。我们还证明即便对于 $m \ge 3$ 及任意 $\epsilon > 0$、$b > 0$，不存在近似比为 $O(n^bp_{\max}^{1-\epsilon})$ 的算法，除非 $P = NP$，即便对于 $Rm|G = bipartite|C_{max}$ 亦然。