磁场的散射

考虑对应于任意短程磁场$B(x)$（$x\in{\Bbb R}^d$）的散射振幅$s(\omega,\omega^\prime;\lambda)$，$\omega,\omega^\prime\in{\Bbb S}^{d-1}$，$\lambda > 0$。这是$\omega$和$\omega^\prime$在远离对角$\omega=\omega^\prime$时的光滑函数，但在对角上可能奇异。若$d=2$，则散射振幅的奇异部分（例如，在横规范下）是Dirac函数与奇异分母的线性组合。此种结构对长程散射是典型的。我们称此现象为长程Aharonov-Bohm效应。相反，对$d=3$散射本质上是短程性质的，尽管例如满足${\rm curl} A^{(tr)}(x)=B(x)$且$<A^{(tr)}(x),x>=0$的磁势$A^{(tr)}(x)$在无穷远处仅以$|x|^{-1}$衰减。更确切地说，我们证明除了对角的Dirac函数（乘以$\omega$的显式函数）外，散射振幅仅在前向$\omega = \omega^\prime$有弱奇异。我们的方法依赖于在维数$d=3$下构造对应于给定短程磁场$B(x)$的短程磁势$A (x)$。