不连续映射的标度性质

我们通过分析平方作用变量$I^2$的平均值，研究不连续映射的标度性质。我们将研究聚焦于由控制参数$K$的临界值$K_c$分隔的两个动力学区域：慢扩散（$K<K_c$）和准线性扩散（$K>K_c$）区域。我们发现，当$K\ll K_c$和$K\gg K_c$时，不连续映射的$I^2$标度在适当极限下服从与Chirikov标准映射在弱非线性和强非线性区域相同的标度律。然而，由于缺乏KAM环面，我们在两个区域都观察到当$n\gg 1$时$I^2\propto nK^\beta$（其中$n$是映射的第$n$次迭代），且当$K\ll K_c$时$\beta\approx 5/2$，当$K\gg K_c$时$\beta\approx 2$。