Sasaki 流形上的数量曲率与恰当性
微分几何
2018-02-13 v1 偏微分方程分析
摘要
我们研究紧 Sasaki 流形上的(横)数量曲率型方程，鉴于 Chen-Cheng \cite{CC1, CC2, CC3} 关于紧 K"ahler 流形上常数量曲率(K"ahler 度量)(csck)存在性的近期突破。遵循他们的策略，我们证明给定一 Sasaki 结构(其锥面上的 Reeb 向量场与复结构固定)，存在具有横常数量曲率(cscs)的 Sasaki 结构，当且仅当 -能量在保持 Reeb 向量场与横复结构的自同构群恒等分量模下是约化恰当的。从技术上讲，证明主要由两部分组成。第一部分是数量曲率型方程的先验估计，平行于 Chen-Cheng 在 \cite{CC2, CC3} 中 Sasaki 情形下的结果。第二部分是紧 Sasaki 流形上的几何多重势理论，建立在 K"ahler 流形上几何多重势理论的深刻结果之上。两部分(偏微分方程与多重势理论)在 Sasaki 情形下均有显著且微妙的差别(相较于 K"ahler 情形)。偏微分方程部分是将 Chen-Cheng \cite{CC1, CC2, CC3} 的深层工作适配至 Sasaki 情形并作必要修正。而紧 Sasaki 流形上的几何多重势理论相较极为精巧的 K"ahler 情形几何多重势理论存在新的困难。我们将在另一论文 \cite{HL}(与 Jun Li 的合作工作)中给出 Sasaki 流形上几何多重势的细节。
引用
@article{arxiv.1802.03841,
title = {Scalar curvature and properness on Sasaki manifolds},
author = {Weiyong He},
journal= {arXiv preprint arXiv:1802.03841},
year = {2018}
}