基于 Karhunen-Loève 展开与矩阵函数的随机微分方程采样

我们考虑利用 Karhunen-Loève 展开对带加性噪声的随机微分方程进行线性化。我们通过截断该展开，并借助矩阵函数理论将解写为矩阵-向量乘积的级数，从而得到线性化形式。此外，我们将该解重新表述为一个线性微分方程组的解。我们给出了截断过程的强误差与弱误差界，并表明在适当条件下，均方误差的收敛阶为 $\mathcal{O}(\frac{1}{m})$，二阶矩具有弱收敛阶 $\mathcal{O}(\frac{1}{m})$，其中 $m$ 表示展开的规模。我们还讨论了用于近似矩阵函数级数与线性化微分方程组的高效数值线性代数技术。这些理论结果得到实验支持，实验显示了我们的算法相较于欧拉-丸山（Euler-Maruyama）格式等标准方法的有效性。