$S$-预克隆与伽罗瓦连接 ${}^S\mathrm{Pol}$-${}^S\mathrm{Inv}$，第一部分

我们考虑 $S$-运算 $f \colon A^{n} \to A$，其中每个自变量被赋予一个符号 $s \in S$，表示一种“性质”，例如关于 $A$ 上固定偏序的保序或反序。假设这样的性质之集 $S$ 具有反映这些性质在 $S$-运算复合下行为的幺半群结构（例如，反序复合反序为保序）。具有对其带符号自变量规定性质的所有 $S$-运算之集不是一个克隆（因为它不对自变量的任意等同封闭），但它是一个具有特殊性质的预克隆，这引出了 $S$-预克隆的概念。我们引入 $S$-关系 $\varrho = (\varrho_{s})_{s \in S}$、$S$-关系克隆以及一个保持性质（$f \mathrel{\stackrel{S}{\triangleright}} \varrho$），并考虑诱导的伽罗瓦连接 ${}^S\mathrm{Pol}$-${}^S\mathrm{Inv}$。$S$-预克隆与 $S$-关系克隆恰好是该伽罗瓦连接的闭集。我们还建立了关于 $A$ 上所有 $S$-预克隆之格结构的一些基本事实。