强度至少为 $2$ 的行列因子设计

复制数为 $\lambda$ 的 $q^k$（完全）因子设计是由长度为 $k$ 的每个 $q$ 元向量的每个元素出现 $\lambda$ 次组成的多重集；我们将其记为 $\lambda\times [q]^k$。一个 $m\times n$ 强度为 $t$ 的行列因子设计 $q^k$ 是将 $\lambda \times [q]^k$ 的元素排列进一个 $m\times n$ 阵列（我们称其类型为 $I_k(m,n,q,t)$），使得每行（列）中的向量集合是度为 $k$、大小为 $n$（相应地为 $m$）、$q$ 水平、强度为 $t$ 的正交阵列的行。此类阵列用于实验设计。在此背景下，对于强度为 $t$ 的行列因子设计，所有大小不超过 $t$ 的交互作用均可在不被行列区组因子混淆的情况下被估计。在本稿件中，我们研究强度 $t\geq 2$ 的行列因子设计。对于强度 $t=2$ 的结果如下。对于任意素数幂 $q$ 并假设 $2\leq M\leq N$，我们证明存在类型为 $I_k(q^M,q^N,q,2)$ 的阵列当且仅当 $k\leq M+N$、$k\leq (q^M-1)/(q-1)$ 且 $(k,M,q)\neq (3,2,2)$。我们找到了小参数下 $I_{k}(4m,n,2,2)$ 存在的充分必要条件。我们还证明，在存在阶为 $4b$ 的Hadamard矩阵假设下，只要 $\alpha\geq 2$ 且 $2^{\alpha}+\alpha+1\leq k<2^{\alpha}b-\alpha$，就存在 $I_{k+\alpha}(2^{\alpha}b,2^k,2,2)$。对于 $t=3$ 我们关注二元情形。假设 $M\leq N$，存在类型为 $I_k(2^M,2^N,2,3)$ 的阵列当且仅当 $M\geq 5$、$k\leq M+N$ 且 $k\leq 2^{M-1}$。我们的大部分构造使用线性代数，常应用于已有的正交阵列和Hadamard矩阵。