由容差确定的粗糙集

我们证明，对于$U$上的任意容差$R$，由$R$确定的下近似和上近似的有序集构成正交格。当且仅当$R$由$U$的冗余覆盖诱导时，这些正交格是完全分配的，从而形成原子布尔格，并且在这种情况下描述了这些布尔格的原子。我们证明，由$U$上的容差$R$确定的粗糙集有序集$\mathit{RS}$是完全格，当且仅当它是下近似和上近似完全格的完全直积子格。我们证明，$R$是由$U$的冗余覆盖诱导的容差，当且仅当$\mathit{RS}$是代数完全分配格，并且在这种情况下可以在$\mathit{RS}$上定义准 Nelson 代数。我们提出了充分必要条件，以保证对于$U$上的容差$R$，有序集$\mathit{RS}_X$对所有$X \subseteq U$都是格，其中$R_X$表示$R$在集合$X$上的限制，$\mathit{RS}_X$是对应的粗糙集集合。我们引入了粗糙集的不交表示和形式概念表示，并证明它们是$\mathit{RS}$的 Dedekind--MacNeille 完备化。