无限对称逆半群的 ${\rm II}_1$ 因子表示

设 $\mathbb{N}$ 为自然数集。对称逆半群 $R_\infty$ 是所有无穷 0-1 矩阵 $\left[ g_{ij}\right]_{i,j\in \mathbb{N}}$ 的半群，其中每行每列至多有一个 1，且在某个有限集的补集上满足 $g_{ii}=1$。$R_\infty$ 中的二元运算为普通矩阵乘法。显然无限对称群 $\mathfrak{S}_\infty$ 是 $R_\infty$ 的子群。映射 $\star:\left[ g_{ij}\right]\mapsto\left[ g_{ji}\right]$ 是 $R_\infty$ 上的一个对合。若对一切 $r_1, r_2, \ldots, r_n\in R_\infty$，矩阵 $\left[ f\left( r_ir_j^\star\right)\right]$ 为 Hermite 且非负定，则称 $R_\infty$ 上的函数 $f$ 为正定。若函数 $f$ 对应的 $\star$-表示 $\pi_f$ 为因子表示，则称 $f$ 不可分解。一类 $R_\infty$-中心函数（特征标）由条件 $f(rs)=f(sr)$（对所有 $r,s\in R_\infty$）定义。本文分类了所有对应于 $R_\infty$-中心正定函数的 $R_\infty$ 因子表示。