扭曲弹性纸带形变的严谨分析

纸带是厚度为$t$、宽度为$w$的弹性体，其中$t\ll w\ll 1$（在适当的无量纲化后）。许多自然界中的纸带具有非平凡的内部几何，使其与欧几里得空间不兼容。这种不兼容性——即高斯-科达方程对于曲面不成立——可触发窄纸带和宽纸带之间的形变。这种形变取决于内部几何：那些高斯方程不成立的纸带总会出现形变，而那些科达方程不成立的纸带可能或可能不会出现形变。我们对该现象进行首次严谨分析，主要针对第一基本型为平坦的纸带。对于高斯不兼容的纸带，我们确定了问题的自然能量尺度并证明了形变的存在。对于科达不兼容的纸带，我们给出一种形变发生的必要条件。此外，我们的研究揭示了一种根本性的区别：高斯不兼容纸带的形变为“微观”的，随着宽度趋于0而持续存在；而科达不兼容纸带的形变为“中尺度”的，仅在宽度为小但有限值时可观察到。所得结果通过计算在$t,w\to 0$意义下，对于窄纸带（$w^2 \ll t$）和宽纸带（先取$t\to 0$再取$w$），在由内部几何决定的自然能量尺度下的$\Gamma$极限。