含时与不含时量子系统中的 Riccati 方程和 Ermakov 方程
量子物理
2008-05-13 v1 数学物理
math.MP
摘要
含时 Schr\"odinger 方程 (SE) 精确解析波包 (WP) 解的最大值和宽度的时间演化分别代表了量子系统的粒子性和波动性。位于位置平均值处的最大值动力学由相应经典问题的 Newton 方程支配。与位置不确定性直接成正比的宽度服从一个复非线性 Riccati 方程，该方程可变换为实非线性 Ermakov 方程。这对耦合方程产生了一个动力学不变量，在我们的研究中起关键作用。它可以用一个使 Riccati 方程线性化的复变量来表示。该变量还提供了表征相应问题 Green 函数或 Feynman 核的含时参数。由此，还可以获得系统经典动力学与量子动力学之间的关系。此外，我们将展示 Ermakov 不变量与 Wigner 函数之间的紧密联系。动力学不变量的因式分解允许将其与产生/湮灭算符及超对称性进行比较，其中伙伴势满足（实）Riccati 方程。这建立了与不含时量子力学非线性表述的联系，该表述基于定态波函数振幅的 Ermakov 方程并结合守恒律。最后通过与 SUSY 及含时问题的比较结束了我们的分析。
引用
@article{arxiv.0805.1687,
title = {Riccati and Ermakov Equations in Time-Dependent and Time-Independent Quantum Systems},
author = {Dieter Schuch},
journal= {arXiv preprint arXiv:0805.1687},
year = {2008}
}
备注
This is a contribution to the Proc. of the Seventh International Conference ''Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics'' (June 24-30, 2007, Kyiv, Ukraine), published in SIGMA (Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications) at http://www.emis.de/journals/SIGMA/