通过改变势阱区间揭示线性和二次势中无量纲不确定度的量子特征

作为一项本科生练习，在一篇文章（2012 Am. J. Phys. 80 780-14）中，对三种势阱（无限深阱、弹跳球和谐振子）中位置和动量的无量纲变量的量子和经典不确定度进行了评估。虽然原始的量子不确定度乘积依赖于 $\hbar$ 和态数 ($n$)，但无量纲方法通过排除 $\hbar$ 使得量子不确定度与经典弥散之间的比较成为可能。但问题在于，不确定度是否仍然依赖于量子数 $n$。在上述文章中，存在这样一种对比：一方面，势箱的无量纲量子不确定度仅在大量子数极限 ($n\to \infty$) 下趋近于经典弥散——这与对应原理一致。另一方面，对弹跳球和谐振子势的类似评估则等于其经典对应值，且与 $n$ 无关。这种相等性可能掩盖了低能级的量子特征。在当前研究中，我们改变势阱区间，使线性势对称而二次势非对称。结果，本文表明，这些势阱在新势阱区间中的无量纲量子不确定度可以用量子数 $n$ 表示。换言之，不确定度需要对应原理才能趋近经典极限。因此，可以得出结论，无量纲分析作为一种有用的教学方法，通常并不会消除量子不确定度依赖于 $n$ 的量子特征。此外，我们的数值计算包含了势阱中位置的更高次幂。