连续函数的限制

给定 [0, 1] 上的连续实值函数和闭子集 $E \subset [0, 1]$，我们将 $f$ 在 $E$ 上的限制记为 $f_E$，即仅在 $E$ 上定义且在 $E$ 的每一点取值与 $f$ 相同的函数。限制 $f_E$ 通常比 $f$ 具有“更好的性质”。当 $f$ 不具备有界变差时，$f_E$ 可能具有有界变差；$f_E$ 可能比 $f$ 具有更好的连续模；当 $f$ 非单调时，$f_E$ 可能是单调的，等等。所有这些显然取决于 $f$ 和 $E$，我们在此讨论的问题是关于对于每一个 $f$，或对于某类中的每一个 $f$，是否存在“实质性的”集合 $E$，使得 $f_E$ 具有有界全变差、是单调的，或满足给定的连续模。我们所使用的“实质性”概念是指 Hausdorff 维数或 Minkowski 维数。