通过动力学选择原理消除流体上黏性算子在黎曼流形上的歧义

在一般黎曼流形上，纳维-斯托克斯方程可容纳多种不可等价的形式，差异体现在粘性算子选择上：赫 Hodge 黎曼 Laplacian、博克纳 Laplacian 或变形 Laplacian。我们展示，一种拉格朗日动力学构造——其中应变率由 Lie 拖曳连线向量内积的变化率构建——唯一地为配置空间本质上是该流形的流体选定变形 Laplacian。Hodge 黎曼 Laplacian 因而在动力学步骤（引入本构假设之前）被排除，因为由内积几何构成的应变率是对称的，没有反对称部分。我们进一步表明，当流体作为三维流动的薄壳极限时，所选算子取决于法向边界条件：应力自由 (Navier slip) 条件复原变形 Laplacian，而 Hodge 边界条件复原 Hodge Laplacian，通过将环境 Bochner Laplacian 显式分解为内在与外在两个部分。内在部分无论边界条件如何都是变形 Laplacian。作为分析确认，我们表明该动力学选择与 Hodge Laplacian 在双曲平面 $\HH^2$ 上能量不等式的已知失效相容：变形 Laplacian 在 $\HH^2$ 上是有约束的，而 Hodge Laplacian 不是，因为两个算子中的 Ricci 项符号相反。我们进一步证明，在任何高斯曲率上界为负的完整二维流形上，采用变形 Laplacian 的不可压缩纳维-斯托克斯方程唯一存在全局弱解且能量指数衰减，从而解决了 Hodge Laplacian 的相应结果受阻的分析性障碍。