利用 Thue-Morse 序列求解一个积分方程

指数函数是积分方程 $\int_0^X f(x)dx + f(0) =f(X)$ 的解，这是一个经典事实。如果我们将此方程稍作修改为 $\int_0^X f(x)dx+f(0)=f(\alpha X)$，其中 $\alpha\in ]0,1[$，似乎没有经典技术能得出解。在本文中，我们考虑参数 $\alpha=1/2$。我们将证明存在一个解，该解在奇整数上取 Thue-Morse 序列的值。