三对角 Toeplitz 矩阵指数计算及其在热方程数值解中的应用

三对角矩阵指数的计算及其应用一直备受关注。此处考虑的一个应用是：当使用线方法求解热方程时，方程被转化为常微分方程（ODEs）系统，该系统的解依赖于三对角 Toeplitz 矩阵的指数。Strang 与 MacNamara 提出了一种近似计算对称三对角 Toeplitz 矩阵指数的方法，该矩阵出现在 ODEs 的解中。他们的方法基于用第一类修正 Bessel 函数在特定值处近似指数矩阵的元，并据此将指数矩阵分解为一个 Toeplitz 矩阵与一个 Hankel 矩阵之差。本文旨在将这一思想推广至三对角 Toeplitz 矩阵的一般情形，并通过用带状矩阵近似矩阵指数来稳定该方法，使得计算指数矩阵的复杂度与矩阵规模无关。此外，我们给出了这些方法的误差分析以及三对角 Toeplitz 矩阵指数元的界。作为本工作的主要贡献，该思想被实现用于求解热方程，并证明了方法的均匀稳定性。通过分裂方法，该算法被推广至二维问题。数值算例展示了新方法与界的有效性。