由离散Radon变换数据重建具非光滑边缘函数的二维分辨率问题

设 $f$ 为 $\mathbb R^2$ 中未知函数，$f_\epsilon$ 为其由离散Radon变换数据重建的结果，其中 $\epsilon$ 为数据采样率。我们研究当 $f$ 沿非光滑曲线 $\mathcal S_\epsilon$ 具有跳跃间断时的重建分辨率。假设为：(a) $\mathcal S_\epsilon$ 是光滑曲线 $\mathcal S$ 的 $O(\epsilon)$ 尺度扰动，(b) $\mathcal S_\epsilon$ 具有某指数 $\gamma\in(0,1]$ 的Holder连续性。我们计算离散过渡行为（DTB）定义为极限 $\text{DTB}(\check x):=\lim_{\epsilon\to0}f_\epsilon(x_0+\epsilon\check x)$，其中 $x_0$ 为一般点。我们通过两组数值实验展示DTB。第一组扰动为光滑、快速振荡的正弦曲线，第二组为分形曲线。实验揭示，随着 $\mathcal S_\epsilon$ 变得更粗糙，DTB与重建之间的吻合度变差。这与DTB的证明一致，其表明收敛到极限的速率为 $O(\epsilon^{\gamma/2})$。我们随后提出一种新的DTB，其与重建表现出极好的一致性。对该现象的研究需要计算新DTB的收敛速率，这反过来需要全新的方法。我们沿此方向获得部分结果，并猜想新DTB的收敛速率为 $O(\epsilon^{1/2}\ln(1/\epsilon))$。