从离散 Radon 数据重建 $\mathbb R^2$ 中具有粗糙边缘的函数的分析

我们研究了一族函数 $f_\epsilon(x)$, $x\in\mathbb R^2$, $\epsilon\to0$，从其以步长 $O(\epsilon)$ 采样的离散 Radon 变换数据进行重建的精度。对于每个足够小的 $\epsilon>0$，函数 $f_\epsilon$ 跨越一个粗糙边界 $\mathcal S_\epsilon$ 具有跳跃，该边界被建模为光滑边界 $\mathcal S$ 的一个 $O(\epsilon)$ 大小的扰动。描述该扰动的函数 $H_0$ 被假定为有界变差。令 $f_\epsilon^{\text{rec}}$ 表示通过插值离散数据并将其代入连续反演公式计算得到的重建。我们证明 $(f_\epsilon^{\text{rec}}-K_\epsilon*f_\epsilon)(x_0+\epsilon\check x)=O(\epsilon^{1/2}\ln(1/\epsilon))$，其中 $x_0\in\mathcal S$ 且 $K_\epsilon$ 是一个易于计算的核。