基于噪声离散数据的平面 Radon 变换逆变局部重构分析

本文研究当线性滤波背投影 (FBP) 算法应用于带噪声、离散 Radon 变换数据（二维中的采样步长为 $\epsilon$）时，重构误差 $N_\e^{\text{rec}}(x)$ 的行为。具体分析 $N_\e^{\text{rec}}(x)$ 在以任意固定点 $x_0$ 为中心、大小为 $O(\e)$ 的小邻域内的情形，其中测量噪声值 $\eta_{k,j}$（即正弦图空间中的误差）是随机变量。后者是独立的，但不一定具有相同的分布。在合适的假设下，我们证明以下极限存在：$N^{\text{rec}}(\chx;x_0) = \lim_{\e\to0}N_\e^{\text{rec}}(x_0+\e\chx)$，其中 $\check x$ 属于有界域。这里将 $N_\e^{\text{rec}}$ 和 $N^{\text{rec}}$ 视为连续随机变量，极限以分布的意义理解。一旦建立了极限，我们证明 $N^{\text{rec}}$ 是零均值高斯随机场并显式计算其协方差。此外，我们使用数值仿真和伪随机噪声验证了理论。