用具有算术趣味的实数集表示序数

对于实数 $x$ 和自然数集 $A$，定义 $x \ast A := \{ x a \bmod 1: a\in A\}\subseteq [0,1)$。我们考虑 $x$、$A$ 与 $x\ast A$ 的序型之间的关系。例如，对每个无理数 $x$ 和序型 $\alpha$，存在一个 $A$ 使得 $x\ast A \simeq \alpha$，但如果 $\alpha$ 是良序，则 $A$ 必须是薄集。然而，若限制 $A$ 为 2 的幂次子集，则并非每个序型都可能出现，尽管会出现任意大的可数良序。