Gelfand 箭图的表示论与 $\mathsf{SL}_2(\mathbb{R})$ 的 Harish-Chandra 模

1970 年，Gelfand 提出了分类 $\mathsf{SL}_2(\mathbb{R})$ 的 Harish-Chandra 模的主块中等价表示范畴中不可分解对象的问题；Bondarenko 以及独立地 Crawley-Boevey 给出了显式解。在本文中，我们从导出范畴的角度给出了 Gelfand 问题的完整答案。我们用带和弦复形对 Gelfand 箭图零幂表示的有界导出范畴中的不可分解对象进行分类，并确定它们在导出 Auslander-Reiten 平移、符号对合和共轭对偶下的像。四个主要组合类从李理论角度以及同调角度进行了刻画。对于零幂表示的阿贝尔范畴，我们提供了射影分解、标准同调不变量以及所有不可分解对象的显式表示矩阵。我们的方法可以推广到斜温和箭图的路径代数的箭头理想完备化。