图的有理结构及 Gelfand 等价的一种推广

我们引入了图及其关联表示的有理结构概念，以建立一个关于可分离域扩展上图表示研究的一致框架。此概念与对 $K$ 物种概念的细化相关，我们称为正合 $K$ 物种：我们在 $K$ 有理图的范畴与正合 $K$ 物种范畴之间建立范畴反等价，这一等价关系可延伸为其各自表示范畴的等价。对于 $K$ 有理图，存在标准的基变换概念，这暗示了对应于（正合）$K$ 物种的基变换概念，我们加以阐述。作为主要应用，我们将 Gelfand 对 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ 某些 Harish-Chandra 模块块与 Gelfand 图表示之间的著名等价推广到有理域。为此，我们定义了 Gelfand 图及其表示的 $\mathbb{Q}$ 有理结构。我们发展了一个关键技术工具，称为单位稳定化，用于构造从某些有理 Harish-Chandra 模块到零化有理图表示的函子。我们证明了该函子是等价。针对循环图也取得了类似结果。这一有理框架的一个显著结果是：当在不包含 $\sqrt{-1}$ 的域上工作时，Gelfand 图的定义关系变得多余。这使我们能够以无关系的 $\mathbb{Q}$ 物种语言重新表述结果。