半阿廷冯·诺依曼正则代数上半阿廷偏序集的表示

若 $R$ 是半阿廷冯·诺依曼正则环，则 $R$ 的素理想集 $\Prim_{R}$ 按包含序构成一个阿廷偏序集，其中所有极大链都有最大元。此外，若 $\Prim_{R}$ 无无限反链，则 $R$ 的所有理想构成的格 $\BL_{2}(R)$ 与 $\Prim_{R}$ 的所有上子集构成的格反同构。由于映射 $U\mapsto r_R(U)$ 定义了从任意一组简单右 $R$-模的代表元集 $\Simp_R$ 到 $\Prim_{R}$ 的双射，因此在 $\Simp_R$ 上诱导出一个自然偏序，在此偏序下极大元恰为那些在各自自同态除环上有限维的简单右 $R$-模；这些模总是 $R-内射的。给定任意具有至少两个元素且存在有限共尾子集的阿廷偏序集$I$、一个下子集$I'\sbs I$以及一个域$D$，我们给出一种构造，生成一个半阿廷且单位正则的$D$-代数$D_I$，它具有以下性质：(a)$\Simp_{D_I}$与$I$序同构；(b) 映射$H\mapsto\Simp_{D_I/H}$实现了从格$\BL_{2}(D_I)$到$\Simp_{D_I}$的所有上子集构成的格的反同构；(c)$\Simp_{D_I}$中的非极大元是内射的当且仅当它对应于$I'$中的元素，因此$D_I$是右$V$-环当且仅当$I' = I$；(d)$D_I$是右和左$V$-环当且仅当$I$是反链；(e) 若$I$具有有限对偶 Krull 长度，则$D_I$是（右和左）遗传的；(f) 若$I$至多可数且$I' = \vu$，则$D_I$是可数维$D$-代数。