相对 Koszul 余分解与相对 Betti 数

设 $G$ 是有限维代数 $A$ 在域 $\Bbbk$ 上的有限生成右 $A$-模，$\mathcal{I}$ 为 $G$ 的加法闭包。我们将定义 $G$ 的不可分解直和项 $V$ 的一个 $\mathcal{I}$-相对 Koszul 余分解 $\mathcal{K}^{\bullet}(V)$，并证明对于有限生成 $A$-模 $M$，$M$ 在 $V$ 处的 $\mathcal{I}$-相对第 $i$ 个 Betti 数对所有 $i \ge 0$ 由 $M$ 在 $V$ 处的 $\mathcal{I}$-相对 Koszul 复形 $\mathcal{K}_V(M)_{\bullet}:=\operatorname{Hom}_A(\mathcal{K}^{\bullet}(V),M)$ 的第 $i$ 个同调的 $\Bbbk$-维数给出。这被应用于研究持久模 $M$ 的极小区间分解/余分解，例如检验 $M$ 的区间可分解性，以及计算 $M$ 的区间逼近。