Prandtl方程解的正则性

本文研究了 Prandtl 方程 Dirichlet 问题 $${u(x)\over p(x)}- {1\over 2\pi}\int_{-1}^1 {u'(t) \over t-x} \,dt = f(x)$$ 解的可解性与正则性。假设 $p(x)$ 是 $(-1,1)$ 上的正函数，且满足 $\sup \frac{(1-x^2)}{ p(x)} < \infty$。我们根据区间 $(-1,1)$ 上的特殊积分变换引入了空间尺度 $\widetilde{H}^s(-1,1)$。我们获得了解在 $0\le s \le 1$ 的 $\widetilde{H}^{s}(-1,1)$ 类中存在性与唯一性的定理。特别地，对于 $s=1$，结果如下：若 $r^{1/2} f \in L_2$，则 $r^{-1/2} u, r^{1/2} u' \in L_2$，其中 $r(x)=1-x^2$。