Schramm-Loewner 演化的正则性：至多常数变差与连续模

我们为 Schramm-Loewner 演化 (SLE) 的以下正则性度量找到了最优（至多常数）界限：变差正则性、连续模以及重对数律。对于后两者，我们考虑具有自然参数化的 SLE。更精确地说，用 $d\in(0,2]$ 表示曲线的维数，我们证明以下结果。1. 最优 $\psi$-变差为 $\psi(x)=x^d(\log\log x^{-1})^{-(d-1)}$，其意义在于 $\eta$ 对此 $\psi$ 几乎 surely 具有有限 $\psi$-变差，而对于任何当 $x \downarrow 0$ 时衰减更慢的函数则不然。2. 最优连续模为 $\omega(s) = c\,s^{1/d}(\log s^{-1})^{1-1/d}$，即对于某个随机 $c>0$，我们有 $|\eta(t)-\eta(s)| \le \omega(t-s)$ 几乎 surely 成立，而对于任何当 $s \downarrow 0$ 时衰减更快的函数 $\omega$ 则不成立。3. $\limsup_{t\downarrow 0} |\eta(t)|\,\big(t^{1/d}(\log\log t^{-1})^{1-1/d}\big)^{-1}$ 几乎 surely 等于 $(0,\infty)$ 中的一个确定性常数。我们还证明了 SLE 的自然参数化由 $\psi$-变差的精细网格极限给出。作为我们证明的一部分，我们证明了每个增量满足特定矩条件的随机过程都达到某种变差正则性。