2-幂阶正则地图

本文考虑阶为 $2^n$ 的正则地图的可能类型，其中正则地图的阶是指该地图自同构群的阶。对于 $n \le 11$，M. Conder 分类了所有阶为 $2^n$ 的正则地图。分类度为 $2$ 或 $2^{n-1}$ 的阶为 $2^n$ 的正则地图是容易的。因此我们假定 $n \geq 12$ 且 $2\leq s,t\leq n-2$ 且 $s\leq t$，来考虑类型为 $\{2^s, 2^t\}$ 的阶为 $2^n$ 的正则地图。我们证明对于 $s+t\leq n$ 或对于 $s+t>n$ 且 $s=t$，存在类型为 $\{2^s, 2^t\}$ 的阶为 $2^n$ 的正则地图，并且进一步分类了类型为 $\{2^{n-2},2^{n-2}\}$ 和 $\{2^{n-3},2^{n-3}\}$ 的阶为 $2^n$ 的正则地图。我们猜想，若 $s+t>n$ 且 $s<t$，则不存在类型为 $\{2^s, 2^t\}$ 的阶为 $2^n$ 的正则地图，并对 $t=n-2$ 和 $n-3$ 的情形证实了该猜想。