具有双循环自同构群的正则 dessins d'enfants

设 $G_n$ 为阶 $4n$ 的双循环群。我们观察到，在同构意义下，(i) 对 $n \ge 2$ 偶数恰有一个以 $G_n$ 为自同构群的正则 dessin d'enfant，(ii) 对 $n \ge 3$ 奇数恰有两个。它们均构造于众所周知的超椭圆 Riemann 面上。对每种情形，我们观察到由 $G_n$ 作用诱导的其 Jacobian 簇的等型分解仅有一个分量。若 $n$ 为偶数，则该作用为纯非自由，即每个元素均带不动点。在 $n$ 奇数情形，其中一种作用非纯非自由，而另一种为纯非自由。