复奇点 Milnor 纤维化定理的改进

设 $X$ 为 $\mathbb{C}^n$ 中原点 $\underline{0}$ 的某个开邻域 $U$ 内的解析子集。设 $f\colon (X,\underline{0}) \to (\mathbb{C},0)$ 为全纯映射，并令 $V =f^{-1}(0)$。设 $\B_\epsilon$ 为 $U$ 中以 $\underline{0}\in\mathbb{C}^n$ 为中心、半径 $\epsilon>0$ 充分小的球。我们证明 $f$ 具有一个相关的实解析超曲面规范铅笔丛 $X_\theta$，其轴为 $V$，从而导出整个空间 $(X \cap \mathbb{B}_\epsilon) \setminus V$ 到 $\mathbb{S}^1$ 上的纤维化 $\Phi$。其在 $(X \cap \mathbb{S}_\epsilon) \setminus V$ 上的限制是通常的 Milnor 纤维化 $\phi = \frac{f}{|f|}$，而在 Milnor 管 $f^{-1}(\partial \D_\eta) \cap \mathbb{B}_\epsilon$ 上的限制是 $f$ 的 Milnor-L\^e 纤维化。铅笔丛 $X_\theta$ 的每个元素均横截于边界球面 $\mathbb{S}_\epsilon = \partial \B_\epsilon$，且其交集为 $f$ 的链环与 $\phi$ 在圆周上一对对径点处的两个同胚纤维的并集。此外，通过对理想 $(Re(f), Im(f))$ 进行实爆破所得的空间 ${\tilde X}$ 是以 $X_\theta$ 为纤维、底空间为 $\mathbb{R} \mathbb{P}^1$ 的纤维丛。这些构造在一定程度上也适用于实解析映射 germ，并清晰地展示了实解析奇点与复解析奇点在 Milnor 纤维化方面的差异。