实解析奇点的 Milnor 边界的拓扑

我们研究实解析映射芽 $f: (\mathbb{R}^M,0) \to (\mathbb{R}^K,0)$ 与 $f_{I}:=\Pi_{I}\circ f : (\mathbb{R}^M,0) \to (\mathbb{R}^I,0)$ 的 Milnor 纤维边界的拓扑，它们容许 Milnor 管纤维化，其中 $\Pi_{I}:(\mathbb{R}^K,0)\to (\mathbb{R}^{I},0)$ 是 $1\leq I<K$ 时的标准投影。对每个 $I$，我们证明 Milnor 边界 $\partial F_{I}$ 由 Milnor 管纤维 $F_{I+1}$ 的对偶给出。我们证明若 $K-I\geq 2$，则对 $(\partial F_{I},\partial F_{f})$ 是以 $\partial F_{f}$ 为装订、以 $F_{f} \setminus \partial F_{f}$（Milnor 纤维 $F_{f}$ 的内部）为页的广义 $(K-I-1)$-开书分解（见下文定义）。这使我们能够证明若干连接 Milnor 边界 $\partial F_{f},$ $\partial F_{I}$ 与相应链环 $\mathcal{L}_{f}, \mathcal{L}_{I}$（对每个 $1\leq I<K$）的新欧拉示性数公式，以及 Milnor 边界的一个 Lê-Greuel 型公式。