通过非阴影与二项式支持对 Alon-Babai-Suzuki 类型交叉定理的细化

我们证明了 Alon-Babai-Suzuki (ABS) 非均匀受限交叉定理的多层次非阴影细化。设 $K=\{k_1,\dots,k_r\}$，设 $L$ 为一个大小为 $s$ 的集合。如果 $\mathcal{F}\subseteq \bigcup_{k\in K}\binom{[n]}{k}$ 是 $L$-交叉的，并且 $k_i>s-r$ 对每个 $i$ 都成立，则 $|\mathcal{F}| + \sum_{j=s-r+1}^{s} |\mathcal{N}_j(\mathcal{F})| \le N(n,s,r),$ 等价于 $|\mathcal{F}| \le \sum_{j=s-r+1}^{s} |\partial_j\mathcal{F}|.$ 因此，ABS 界限被总非阴影赤字在前 $r$ 层次上所取的总和所锐化。在模数设置下，我们采用系数敏感的观点：多项式方法不仅取决于消去多项式 $P_L(t)=\prod_{\ell\in L}(t-\ell)\in\mathbb{F}_p[t]$ 的次数，还取决于其中实际出现的哪些二项式项。这导致一个取决于 $P_L$ 活动支撑层次的无间隙模数界限。对于几乎初始剩余模式 $L=\{0,1,\dots,s-m-1\}\cup R \pmod p$ 我们获得 $|\mathcal{F}|\le \sum_{i=0}^{m}\binom{n}{s-i}.$ 特别地，对于连续剩余 $L=\{0,1,\dots,s-1\}\pmod p$ 我们得到锐利的界限 $|\mathcal{F}|\le \binom{n}{s}$，给出 Alon-Babai-Suzuki 问题的一个部分否定答案：当 $r\ge 2$ 时，模数 ABS 界限 $N(n,s,r)$ 在连续剩余情形下不可达。