超几何函数平方与立方的 Maclaurin 系数的递推关系及应用

在本文中，我们提出并证明了级数展开 $F^2(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty u_n z^n$ 和 $F^3(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty v_n z^n$（$a,b,c,z \in \mathbb{C}$ 且 $-c \notin \mathbb{N} \cup \{0\}$）中的系数 $u_n$ 和 $v_n$ 分别满足二阶和三阶线性递推关系，其中 $F(a,b;c;x)$ 表示 Gauss 超几何函数，$\mathbb{C}$ 为复平面。我们的结果为复域中几个经典特殊函数（包括零平衡 Gauss 超几何函数、椭圆积分，以及 Chebyshev、Legendre、Gegenbauer 和 Jacobi 多项式等经典正交多项式）的平方和立方的 Maclaurin 系数提供了递推关系。作为应用，我们首先确立了涉及 Gauss 超几何函数的某一函数的单调性，随后给出了著名的 Clausen 公式的新证明。