复平面上合流超几何函数与高斯超几何函数系数的递推关系

对于 $a,b,c,z,p, \theta \in \mathbb{C}$，其中 $\mathbb{C}$ 为复平面，$-c\notin \mathbb{N\cup }\left\{ 0\right\}$，令 \begin{equation*} \mathcal{M}\left( z\right) =\left( 1-\theta z\right) ^{p}M\left(a;c;z\right) =\sum_{n=0}^{\infty }u_{n}z^{n}, \end{equation*} 其中 $|z| <\frac{1}{\theta}$，$|\arg (1-\theta z)| < \pi$，并令 \begin{equation*} \mathcal{G}\left( z\right) =(1-\theta z) ^{p}F(a,b;c;z) =\sum_{n=0}^{\infty }v_{n} z^{n}, \end{equation*} 其中 $|z| < 1$，$|\arg (1-\theta z)| < \pi$。本文证明了对于 $n\geq 0$，系数 $u_{n}$ 和 $v_{n}$ 满足一个三阶递推关系。这为研究合流超几何函数 $M(a;c;z)$ 和高斯超几何函数 $F(a,b;c;z)$ 提供了一种新途径。此外，我们还给出了其他特殊函数系数的递推关系，如误差函数、贝塞尔函数、不完全伽马函数、完全椭圆积分和切比雪夫多项式。