基于恢复的二维双调和方程有限元方法

我们设计并在数值上验证了一种基于恢复的线性有限元方法，用于求解双调和方程。其主要思想是在双调和方程弱形式中，将线性有限元空间上的梯度算子 $\nabla$ 替换为 $G(\nabla)$，其中 $G$ 是将分段常数函数恢复到线性有限元空间的恢复算子。通过算子 $G$，拉普拉斯算子 $\Delta$ 被替换为 $\nabla\cdot G(\nabla)$。此外，法向导数 $\nabla u\cdot \pmb{n}$ 上的边界条件由边界惩罚法处理。本文也给出了所提方法的显式矩阵表达。在一致网格和自适应网格上的数值例子展示了所提方法的正确性与有效性。