正则树上的重构阈值

我们考虑一个二元状态空间、指标集为 $T^k$（即每个节点有 k 个子节点的无限有根树，亦称为“树上广播”模型）的枝叉随机游走。树的根取随机值 0 或 1，随后每个节点依据一个 2x2 转移矩阵 P 独立地向各自的每个子节点传递一个值。若树的第 d 层上的值当 $d\to\infty$ 时含有关于根值的非零信息，则称“重构是可能的”。通过改进 Brightwell 与 Winkler 的方法，我们得到了在一般情形以及特殊情形 $p_{11}=0$ 下重构不可能的若干新条件。后一情形与统计物理中的“硬核模型”密切相关；我们结果的一个推论是，对于活动度 $\lambda=1$ 的 (k+1)-正则树上的硬核模型，对任意 k，唯一的简单不变 Gibbs 测度在 Gibbs 测度集中是极端的。