树上的稳健重构由第二特征值决定

考虑一棵以 \rho 为根的无穷树 T=(V,E) 上的 Markov 链。在此链中，一旦选定根初始状态 \sigma(\rho)，每个顶点通过应用 Markov 转移规则从其父节点状态迭代地选择自身状态（且所有此类应用相互独立）。令 \mu_j 表示在 \sigma(\rho)=j 下得到的结果测度。所得测度 \mu_j 定义于构型 \sigma=(\sigma(x))_{x\in V}\in A^V 上，其中 A 为某有限集。令 \mu_j^n 表示 \mu 在由变量 \sigma(x) 生成的 sigma-代数上的限制，其中 x 与 \rho 的距离恰为 n。令 \alpha_n=max_{i,j\in A}d_{TV}(\mu_i^n,\mu_j^n)，其中 d_{TV} 表示全变距离，若 lim inf_{n\to\infty}\alpha_n>0，则称重构问题可解。重构可解性大致意味着当 n\to\infty 时，树的第 n 层含有关于树根的非消失信息量。本文研究稳健重构问题。令 \nu 为 A 上非退化分布且 \epsilon >0。令 \sigma 依 \mu_j^n 选取，\sigma' 由 \sigma 经如下得到：对每个节点独立地，以概率 1-\epsilon 令 \sigma(v)=\sigma'(v)，否则 \sigma'(v) 为取自 \nu 的独立样本。我们记 \mu_j^n[\nu,\epsilon ] 为 \sigma' 上的结果测度。测度 \mu_j^n[\nu,\epsilon ] 是测度 \mu_j^n 的一个扰动。