进化树与 Bethe 晶格上的 Ising 模型:Steel 猜想的一个证明

进化生物学的一项主要任务是从分子数据重建系统发育树。进化模型由树上的马尔可夫链给出。给定马尔可夫链叶节点处的样本,目标是重建带叶标记的树。众所周知,为了重建一棵具有 $n$ 个叶的树,需要长度为 $\Omega(\log n)$ 的样本序列。M. Steel 猜想,对于 CFN/Ising 进化模型,如果树上所有边的突变概率小于 $p^{\ast} = (\sqrt{2}-1)/2^{3/2}$,则该树可以从长度为 $O(\log n)$ 的序列中恢复。值 $p^{\ast}$ 由二叉树上 Ising 模型自由 Gibbs 测度极值性的相变点给出。Steel 的猜想已由第二作者在该树“平衡”的特殊情形证明。第二作者还证明了如果所有边的突变概率都大于 $p^{\ast}$,则所需长度为 $n^{\Omega(1)}$。在此我们证明 Steel 的猜想对一般树成立,给出了一个当突变概率离散化且小于 $p^\ast$ 时从 $O(\log n)$ 长度序列恢复树的重建算法。我们的证明与结果表明,无限二叉树上自由 Gibbs 测度的极值性——此前已在概率论、统计物理和计算机科学中被研究——决定了有限二叉树上的 Gibbs 测度可区分的程度。