系统发育中的相变

我们应用树上的 Markov 随机场理论推导了重构系统发育树所需样本数中的一个相变。我们考虑树上的 Cavender-Farris-Neyman 进化模型，其中所有内节点度数至少为 3，且每条边上的净转移概率以 e 为界。受 M. Steel 一个猜想的启发，我们证明了若 2 (1 - 2 e) (1 - 2e) > 1，则对于平衡树，具有 n 个叶的底层树的拓扑可由叶上的 O(log n) 个样本（字符）重构。另一方面，我们证明若 2 (1 - 2 e) (1 - 2 e) < 1，则存在至少需要 poly(n) 个样本才能重构的拓扑。我们的结果是首批严格结果，确立了树上 Markov 随机场（如概率、统计物理与信息论中所研究）的相变在数学生物学系统发育研究中的作用。