一般Galton-Watson树着色的重构/非重构阈值

树上的广播模型出现在离散数学、生物学、统计物理和计算机科学等许多背景中。本文考虑着色模型。这里的一个基本问题是根节点的赋值是否影响距离$h$处顶点着色的分布，即所谓的“重构问题”。对于$d$叉树，众所周知$d/\ln(d)$是重构阈值。即，对于$k=(1+\epsilon)d/\ln(d)$，我们有非重构；而对于$k=(1-\epsilon)d/\ln(d)$，我们有重构。这里，我们考虑底层树根据预定义分布选择这一很大程度上未被研究的情况。特别地，我们关注著名的Galton-Watson树。该模型自然地出现在许多背景中，例如自旋玻璃理论及其在随机约束满足问题（rCSP）中的应用。上述研究聚焦于后代分布为$B(n,d/n)$（即参数为$n$和$d/n$的二项分布，其中$d$固定）的Galton-Watson树。这里我们考虑该问题的更广泛版本，假设一般的后代分布，其中包括$B(n,d/n)$作为特例。我们的方法将（非）重构的相应界限与后代分布的某些集中性质联系起来。这使得我们能够推导出非常广泛的后代分布族（包括$B(n,d/n)$）的重构阈值。一个非常有趣的推论是，对于期望后代为$d$的分布，在比$B(n,d/n)$更弱的集中条件下，我们得到重构阈值$d/\ln(d)$。此外，我们针对后代为$B(n,d/n)$的Galton-Watson树随机着色得到的重构阈值，隐含了$G(n,d/n)$随机着色的重构阈值。