具有多叶或少叶的生成树重配置

设 $G$ 为一个图，$T_1,T_2$ 为 $G$ 的两棵生成树。若存在边 $e \in T_1$ 与 $f \in T_2$ 使得 $T_2= (T_1 \setminus e) \cup f$，则称 $T_1$ 可通过一次边翻转变换为 $T_2$。由于生成树构成拟阵，正如 Ito 等人所观察到的，确实可通过一系列边翻转将一棵生成树变换为任意另一棵。我们研究如下判定问题：给定两棵具有附加性质 $\Pi$ 的生成树 $T_1,T_2$，是否存在一条边翻转变换路径从 $T_1$ 到 $T_2$ 且全程保持性质 $\Pi$。首先，我们证明判定是否存在从 $T_1$ 到 $T_2$ 的变换使得序列中所有树至多有 $k$（对任意固定的 $k \ge 3$）个叶子是 PSPACE-完全的。接着我们证明，判定是否存在从 $T_1$ 到 $T_2$ 的变换使得序列中所有树至少有 $k$ 个叶子（$k$ 为输入的一部分）即使是限制在分裂图、二部图或平面图上也仍是 PSPACE-完全的。我们通过证明该问题在余图、区间图以及当 $k=n-2$ 时变为多项式时间可解来补全此结果。