非交叉生成树的重构

对于平面上处于一般位置的 $n$ 个点集 $P$，非交叉生成树是这些点的一个生成树，其中每条边为两点间的直线段，且除公共端点外任意两边不相交。我们研究将 $P$ 的一棵非交叉生成树通过一系列翻转重构为另一棵的问题，每次翻转移除一条边并添加一条新边，使结果仍为 $P$ 的非交叉生成树。已知翻转次数上界为 $2n-4$ [Avis and Fukuda, 1996]，下界为 $1.5n - 5$。我们给出一种重构算法，至多使用 $2n-3$ 次翻转，但当一棵树为路径且满足以下之一时减至 $1.5n-2$ 次翻转：点处于凸位置；或该路径在某方向上单调。对于凸位置的点，我们证明上界为 $2d - \Omega(\log d)$，其中 $d$ 为两树对称差大小的一半。我们还考察了快乐边（即初末树共有的边）是否需翻转，并利用穷举搜索求出了小点集的精确最小翻转距离。