凸几何图中平面树的重构

平面上点集的非交叉生成树是指边两两不交叉的生成树。Avis 与 Fukuda 于 1996 年证明，任意一对非交叉生成树之间总存在长度至多为 $2n-4$ 的翻转序列（其中 $n$ 表示点的个数）。Hernando 等人证明，最小翻转序列的长度可至少为 $\frac 32 n$。Aichholzer 等人与 Bousquet 等人的两项近期结果改进了 Avis 与 Fukuda 的上界，分别证明总存在长度至多为 $2n - \log n$ 与 $2n - \sqrt{n}$ 的翻转序列。我们首次在 25 年中以线性因子改进了该上界，证明任意一对非交叉生成树 $T_1,T_2$ 之间总存在长度至多为 $c n$ 的翻转序列，其中 $c \approx 1.95$。我们的结果实际上更强：我们证明，对任意两棵树 $T_1,T_2$，存在从 $T_1$ 到 $T_2$ 长度至多为 $c |T_1 \setminus T_2|$ 的翻转序列。我们还就对称差改进了最佳下界，证明存在一对树 $T_1,T_2$ 使得最小翻转序列长度为 $\frac 53 |T_1 \setminus T_2|$，通过考虑对称差而非顶点数改进了 Hernando 等人的下界。我们将此下界构造推广到非交叉翻转（从而缩小了上下界之间的差距）与旋转。