到非交叉完美匹配的翻转距离

有限点集$P$在平面上的直线完美匹配$M$是一组线段，使得$P$中每个点恰好为其中一条线段的端点。$M$为非交叉的，若$M$中任意两条线段不相交。给定一个至少存在一个交叉的完美直线匹配$M$，我们可以通过一次翻转（flip）操作消除该交叉。翻转操作移除点集$Q$上两条交叉线段并添加两条非交叉线段，从而得到一个新的完美匹配$M'$。众所周知，经过有限次翻转后可达到非交叉匹配，且不再可能进一步翻转。然而，在这项工作之前，关于翻转次数的非平凡上界一无所知。若$g(n)$（相应地，$k(n)$）是从任意大小为$n$的匹配开始的最长（相应地，最短）翻转序列的最大长度，我们证明$g(n) = O(n^3)$且$g(n) = \Omega(n^2)$（相应地，$k(n) = O(n^2)$且$k(n) = \Omega (n)$）。